$\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(\frac{3 x+2}{5 x-2}\right)^{\frac{1}{x-2}}$ Lo primero que quiero que veas en este problema es que estamos frente a una indeterminación de tipo "1 elevado a infinito". Recordemos lo que vimos en clase, sabemos que: $\lim_{x \rightarrow } (1+ \text{"Algo" que tiende a cero})^{\text{"Algo dado vuelta"}}=e$. Vamos a intentar que nos aparezca esta expresión en nuestro límite. En este caso, primero trabajamos en el paréntesis para que nos aparezca la expresión $(1+ \text{"Algo" que tiende a cero})$. Sumamos y restamos $1$ adentro del paréntesis: $\lim _{x \rightarrow 2^+} (1 + \frac{3 x+2}{5 x-2} - 1)^{\frac{1}{x-2}}$ Ahora hacemos la resta $\frac{3 x+2}{5 x-2} - 1$ para expresar esto como una única fracción: $\lim _{x \rightarrow 2^+} (1 + \frac{-2x+4}{5 x-2})^{\frac{1}{x-2}}$ Perfecto, ya tenemos en el paréntesis 1 + "algo que tiende a cero". Ahora nos faltaría tener $\frac{-2x+4}{5x-2}$ dado vuelta en el exponente. Bueno, lo agregamos: $\lim _{x \rightarrow 2^+} \left( 1 + \frac{-2x+4}{5x-2} \right)^{\frac{1}{x-2} \cdot \frac{-2x+4}{5x-2} \cdot \frac{5x-2}{-2x+4}}$ Si reacomodamos un poco el exponente, nos aparece justo lo que necesitábamos: $\lim _{x \rightarrow 2^+} \left[ \left( 1 + \frac{-2x+4}{5x-2} \right)^{\frac{5x-2}{-2x+4}} \right]^{\frac{-2x+4}{5x-2} \cdot \frac{1}{x-2}}$ Ya sabemos que lo que está entre corchetes tiende a $e$. Ahora calculamos el límite que nos quedó en el exponente en un cálculo auxiliar: $\lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{-2x+4}{5x-2} \cdot \frac{1}{x-2} = \lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{-2x+4}{(5x-2)(x-2)}$ Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", que tranquilamente la podríamos hacer por L'Hopital. Como todavía no lo podemos usar, una estrategia que podemos usar es factorizar las expresiones para ver si se nos cancela algo. Fijate que el numerador lo podemos escribir como $-2(x-2)$. Si lo expresamos así nos queda: $\lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{-2(x-2)}{(5x-2)(x-2)} = \lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{-2}{(5x-2)} = -\frac{2}{8}= -\frac{1}{4}$ ¡Listo! Ya sabemos que el exponente tiende a $-\frac{1}{4}$, por lo tanto el resultado del límite es: $\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(\frac{3 x+2}{5 x-2}\right)^{\frac{1}{x-2}} = e^{-\frac{1}{4}}$